Teorema de Chen

En teoria de nombres, el teorema de Chen afirma que tot nombre parell prou gran pot ser expressat com a suma de dos nombres primers o d'un primer més un semiprimer (producte de dos primers).

Història

El teorema va ser enunciat pel matemàtic xinès Jingrun Chen (1933-1996) el 1966,[1] amb detalls posteriors de la demostració matemàtica el 1973.[2] La seva demostració original va ser simplificada per P M Ross.[3] El teorema de Chen és un pas de gegant en la demostració de la conjectura de Goldbach i un resultat remarcable de la teoria de criba.

El 1978, Chen va demostrar la inequació següent.[4] Sigui P(N) la funció que designa el nombre de primers p tals que N-p és també primer, es té que:

P ( N ) ≤ 7 , 8342 N ( ln ⁡ N ) 2 ( ∏ p > 2 ,   p | N p − 1 p − 2 ) ∏ p > 2 ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) . {\displaystyle P(N)\leq 7,8342{\frac {N}{(\ln N)^{2}}}\left(\prod _{p>2,~p|N}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right).}

On la constant 7,8342 ha estat millorada posteriorment per D H Wu,[5] que ha demostrat que pot ser substituïda per 7,81565.

Variacions

En el mateix document, Chen va enunciar dos resultats.[2] El Teorema I, sobre la conjectura de Goldbach, ha estat enunciat més amunt; el Teorema II, és un resultat de la conjectura dels nombres primers bessons. Diu que si h és un nombre parell positiu qualsevol, existeixen infinits nombres primers p tals que p+h és també un nombre primer.

El 2002, Ying Chun Cai va demostrar que:[6]

Existeix un nombre N tal que tot enter parell n>N es pot expressar com a suma d'un nombre primer p≤n0.95 i un nombre amb, almenys, dos factors primers.

Bibliografia

  • Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: the Classical Bases. 164. Springer-Verlag, 1996. ISBN 0-387-94656-X.  Chapter 10.
  • Wang, Yuan. Goldbach conjecture. World Scientific, 1984. ISBN 9971-966-09-3. 

Referències

  1. ↑ Chen, J.R. «On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes». Kexue Tongbao, 11, 9, 1966, pàg. 385–386.
  2. ↑ 2,0 2,1 Chen, J.R. «On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes». Sci. Sinica, 16, 1973, pàg. 157–176.
  3. ↑ Ross, P.M. «On Chen's theorem that each large even number has the form (p1+p₂) or (p1+p₂p₃)». J. London Math. Soc. (2), 10,4, 4, 1975, pàg. 500–506. DOI: 10.1112/jlms/s2-10.4.500.
  4. ↑ Chen, J. R. «On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, II» (en anglès). Sci. Sinica, 1978, pàg. 421-430.
  5. ↑ Wu, D. H. «An improvement of J. R. Chen's theorem». Shanghai Keji Daxue Xuebao, 1997, pàg. 94-99.
  6. ↑ Cai, Y.C. «Chen's Theorem with Small Primes». Acta Mathematica Sinica, 18, 3, 2002, pàg. 597–604. DOI: 10.1007/s101140200168.