Sumatori d'Euler

El sumatori d'Euler és un mètode de sumabilitat per a sèries convergents i divergents. Donada una sèrie Σan, si la seva Transformació d'euler convergeix a una suma, llavors aquella suma s'anomena el sumatori d'Euler de la sèrie original.

El sumatori d'Euler es pot generalitzar a una família de mètodes denotats (E, q), on q ≥ 0. La (E, 0) suma és el sumatori habitual (convergent), mentre (E, 1) és el sumatori d'Euler corrent. Tots aquests mètodes són estrictament més dèbils que el sumatori de Borel; per q > 0 són incomparables amb el sumatori d'Abel.

Definició

El sumatori d'Euler es fa servir especialment per accelerar la convergència de sèrie alternades i permet avaluar sumes divergents.

E y ∑ j = 0 ∞ a j := ∑ i = 0 ∞ 1 ( 1 + y ) i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) y j + 1 a j . {\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}y^{j+1}a_{j}.}

Per justificar l'enfocament observeu que per a la suma intercanviada, l'sumatori d'Euler es redueixi a la sèrie inicial, perquè

y j + 1 ∑ i = j ∞ ( i j ) 1 ( 1 + y ) i + 1 = 1. {\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{i \choose j}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.}

Aquest mètode mateix no pot ser millorat per l'aplicació iterateda, ja que

E y 1 E y 2 ∑ = E y 1 y 2 1 + y 1 + y 2 ∑ . {\displaystyle _{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .}

Exemples

  • eS TÉ ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) j P k ( j ) = ∑ i = 0 k 1 2 i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) ( − 1 ) j P k ( j ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{j}P_{k}(j)} , si P k {\displaystyle P_{k}} és un polinomi de grau k. Observeu que en aquest cas el sumatori d'Euler redueix una sèrie infinita a una suma finita.
  • L'elecció particular P k ( j ) := ( j + 1 ) k {\displaystyle P_{k}(j):=(j+1)^{k}} proporciona una representació explícita dels Nombres de Bernoulli, des de ζ ( − k ) = − B k + 1 k + 1 {\displaystyle \zeta (-k)=-{\frac {B_{k+1}}{k+1}}} . En efecte, aplicant el sumatori d'Euler als resultats de funció de zeta 1 1 − 2 k + 1 ∑ i = 0 k 1 2 i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) ( − 1 ) j ( j + 1 ) k {\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{j}(j+1)^{k}} , que és polinòmica per a k {\displaystyle k} un enter positiu; cfr. Funció zeta de Riemann.


  • ∑ j = 0 ∞ z j = ∑ i = 0 ∞ 1 ( 1 + y ) i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) y j + 1 z j = y 1 + y ∑ i = 0 ( 1 + y z 1 + y ) i {\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}} . Amb una elecció apropiada de y {\displaystyle y} aquesta sèrie convergeix a 1 1 − z {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}} .

Vegeu també

  • Sumatori de Borel

Referències

Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part.
Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets.
  • Korevaar, Jacob. Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer, 2004. ISBN 3-540-21058-X. 
  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6. 

Enllaços externs

  • Euler summation formula