Recta real estesa

Una recta real estesa, en matemàtica, s'obté a partir dels nombres reals R {\displaystyle {\mathbb {R} }} amb l'afegit de dos elements: + ∞ {\displaystyle +\infty } i − ∞ {\displaystyle -\infty } (infinit positiu i infinit negatiu, respectivament). Es denota per R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} o bé [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,+\infty ]} i és utilitzada per descriure diversos comportaments al límit a càlcul infinitesimal i anàlisi matemàtica, especialment en la teoria de la mesura i integració. Quan el significat es dedueix del context, el símbol + ∞ {\displaystyle +\infty } s'escriu simplement ∞ {\displaystyle \infty } . La recta real estesa projectiva afegeix un sol objecte: ∞ {\displaystyle \infty } (infinit), i no fa distinció entre infinits «positiu» o «negatiu». Aquests nous elements no són nombres reals.

Definicions

Límits

La necessitat de la seva definició, sorgeix en descriure el comportament d'una funció f(x), quan o bé l'argument x o bé el valor de la funció f(x) es torna «molt gran» en algun sentit.

Per exemple, la funció f ( x ) = x − 2   {\displaystyle f(x)=x^{-2}\ } .

La gràfica d'aquesta funció té una asímptota horitzontal en f(x) = 0. Geomètricament, això significa que a mesura que el valor de x creix (cap a la dreta del pla cartesià), més s'aproxima el valor d'1/x² a 0 (l'eix horitzontal). Aquest comportament al límit és similar al del límit d'una funció en un nombre real, excepte que aquí no hi ha nombre real cap al qual x s'aproxima.

Afegint els elements +∞ i -∞ a R, es permet la formulació de "límit a l'infinit" amb propietats topològiques similars a les de R.

Mesura i integració

En teoria de la mesura, se solen admetre conjunts que tenen mesura infinita i integrals el valor de les quals pot ser infinit.

Aquestes mesures sorgeixen naturalment del càlcul. Per exemple, si se li assigna una mesura a R corresponent a la longitud usual dels intervals, aquesta mesura ha de ser més gran que qualsevol nombre real finit. També, si es consideren integrals no fitades, com

∫ 1 ∞ d x x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}

sorgeix el valor "infinit". Finalment, se sol considerar el límit d'una successió de funcions, com

f n ( x ) = { 2 n ( 1 − n x ) , si  0 ≤ x ≤ 1 n 0 , si  1 n < x ≤ 1 {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{si }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{si }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}

Ordre i propietats topològiques

La recta real estesa es torna un conjunt totalment ordenat definint - ∞ ≤ a ≤+∞ per tot a. Aquest ordre té l'agradable propietat que tot subconjunt té un suprem i un ínfim: forma un reticle complet.

Això indueix un ordre topològic sobre R. En aquesta topologia, un conjunt O és un entorn de +∞ si i només si conté un conjunt {x: x > a} per algun nombre real a, i anàlogament pels entorns de -∞. R és un espai de Hausdorff compacte homeomorf a l'interval unitat [0, 1]. Després aquesta topologia és metritzable, correspon (per a un homeomorfisme donat) a la mètrica usual en aquest interval. No hi ha una mètrica que sigui una extensió de la mètrica usual sobre R.

Amb aquesta topologia, es poden definir especialment els límits per x tendint a +∞ i -∞, i els conceptes especialment definits de límits igual a +∞ i -∞, es redueixen a la definició topològica general de límits.

Propietats aritmètiques

Les propietats aritmètiques de R es poden estendre parcialment a R de la següent manera:

a + ∞ = + ∞ + a = + ∞ , a ≠ − ∞ a − ∞ = − ∞ + a = − ∞ , a ≠ + ∞ a ⋅ ( ± ∞ ) = ± ∞ ⋅ a = ± ∞ , a ∈ ( 0 , + ∞ ] a ⋅ ( ± ∞ ) = ± ∞ ⋅ a = ∓ ∞ , a ∈ [ − ∞ , 0 ) a ± ∞ = 0 , a ∈ R ± ∞ a = ± ∞ , a ∈ R + ± ∞ a = ∓ ∞ , a ∈ R − {\displaystyle {\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in \mathbb {R} ^{+}\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in \mathbb {R} ^{-}\end{aligned}}}

Aquí, "a + ∞" significa tant "a + (+∞)" com "a - (- ∞)", i "a - ∞" significa tant "a - (+∞)" com "a + (-∞)".

Les expressions ∞ - ∞, 0 × (± ∞) i ± ∞/± ∞ (anomenades formes indeterminades) normalment són indefinides a l'esquerra. Són regles modelades per les lleis dels límits infinits. Tanmateix, en el context de la probabilitat o teoria de la mesura, 0 × (± ∞) sovint es defineix com a 0.

L'expressió 1/0 no es defineix ni com a +∞ ni com a -∞, perquè encara que és cert que quan f(x) → 0 per a una funció contínua f(x) ha passar que 1/f(x) està eventualment continguda en tot entorn del conjunt {-∞, +∞}, no és cert que 1/f(x) han de tendir a un d'aquests punts. Un exemple és f(x) = 1/(sin(1/x)), el seu valor absolut és 1/|f(x)|, però, no s'aproxima a +∞.

Propietats algebraiques

Amb les definicions donades a dalt, R no és un cos ni un anell, però té les següents propietats:

  • a +( b + c ) i ( a + b )+ c són o bé iguals o bé indefinits.
  • a + b i b + a són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × ( b × c ) i ( a × b ) × c són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × b i b × a són o bé iguals o bé indefinits.
  • a × ( b + c ) i ( a × b )+( a × c ) són o bé iguals o bé indefinits.
  • Si a ≤ b i tant a + c com b + c estan definits, llavors a + c ≤ b + c .
  • Si a ≤ b i c > 0 i tant a × c com b × c estan definits, llavors a × c ≤ b × c .

En general, totes les lleis de l'aritmètica seran vàlides en R sempre que les expressions que intervenen estiguin definides.

Bibliografia

  • Weisstein, Eric W., «Affinely Extended Real Numbers» a MathWorld (en anglès).

Vegeu també