Polinomi irreductible

En teoria d'anells, un polinomi no constant (i per tant no nul) ${\displaystyle p}$ amb coeficients en un domini íntegre ${\displaystyle R}$ (és a dir, ${\displaystyle p\in R[x]}$) és irreductible si no pot factoritzar-se com producte de polinomis de manera que tots ells tinguen graus menor que ${\displaystyle deg(p)}$. En altres paraules, si ${\displaystyle p=r\cdot q}$ llavors ha de ser ${\displaystyle r\in R}$ o ${\displaystyle q\in R}$ (és a dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant).^[1][2][3]

Això és un cas particular d'element irreductible en un domini íntegre.

El domini íntegre R pot, entre altres, ser el conjunt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dels nombres reals (que és domini íntegre per ésser cos), el conjunt ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dels nombres complexos (també cos), el conjunt ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dels nombres racionals (cos també) o el conjunt ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dels nombres enters (que no és cos però si domini íntegre).

Exemples

Els cinc polinomis següents demostren algunes característiques elementals dels polinomis reduïbles i irreduïbles:

${\displaystyle p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)}$,

${\displaystyle p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)}$,

${\displaystyle p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)}$,

${\displaystyle p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$,

${\displaystyle p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)}$.

Sobre l'anell ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de nombres enters, els primers dos polinomis són reductibles, però els tres últims són irreductibles (el tercer no té coeficients del nombre sencer).

Sobre el cos ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de nombres racionals, els primers tres polinomis són reductibles, però els altres dos són irreductibles.

Sobre el cos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de nombres reals, els primers quatre polinomis són reductibles, però el cinquè segueix sent irreductible.

Sobre el cos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ de nombres complexos, els cinc polinomis són reductibles.

De fet en ${\displaystyle \mathbb {C} }$, cada polinomi no-constant se pot descompondre en factors lineals

${\displaystyle p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})}$

on ${\displaystyle a_{n}}$ és el coeficient principal del polinomi i ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ són els zeros de ${\displaystyle p(x)}$. Per tant, tots els polinomis irreductibles són de grau 1. En el cas del cos ${\displaystyle \mathbb {R} }$, tampoc poden ser reductibles aquells polinomis de grau 2 amb discriminant negatiu, ja que a pesar de ser factoritzat per polinomis de menor grau que aquest, i major o igual a 0, no tenen els seus coeficients dins del cos dels reals. Aquest és el teorema fonamental de l'àlgebra.

Un polinomi irreductible és polinomi primitiu si i només si ${\displaystyle x^{{p^{m-1}} \over {ri}}\not \equiv 1{\bmod {f}}(x)}$

p és primer

i x és un element d'ordre ${\displaystyle p^{m}\in \mathbb {Z} _{p}[x]/f(x)}$

Per a provar si un polinomi és irreductible es poden aplicar diversos criteris, entre els quals es troben el criteri d'Eisenstein o el criteri de reducció.

Referències

Vegeu també

• Factorització dels polinomis