Polinomi de Jones

En el camp de la teoria de nusos, s'anomena polinomi de Jones a un invariant per nusos orientats en forma de polinomi de Laurent de coeficients enters en variable ${\displaystyle t^{1/2}}$^[1] descobert per Vaughan Jones el 1984.^[2] També és aplicable a enllaços.

Definició a partir del polinomi parèntesi de Kaufmann

Sigui ${\displaystyle L}$ un enllaç orientat donat a partir del seu diagrama i sigui ${\displaystyle \langle L\rangle }$ el seu polinomi parèntesi de Kaufmann. Notem que el polinomi parèntesi és un polinomi de Laurent en la variable ${\displaystyle A}$ amb coeficients enters.

Prenem ${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$ (el polinomi parèntesi normalitzat), on ${\displaystyle w(L)}$ denota l'entortellament (writhe) de L al seu diagrama donat. (L'entortellament del diagrama és el nombre de creuaments positius (${\displaystyle L_{+}}$ a la figura) menys el nombre de creuaments negatius (${\displaystyle L_{-}}$. Cal tenir present que l'entortellament no és un invariant per nusos.)

${\displaystyle X(L)}$ és un invariant per nusos, perquè és invariant pels canvis en el diagrama de L via moviments de Reidemeister. La invariància pel segon i el tercer moviments ve heretada per la invariància del polinomi parèntesi. Pel que fa al primer moviment, el polinomi parèntesi canvia en un producte per ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$, però la definició donada del polinomi X està feta per anul·lar aquesta variació, ja que l'entortellament canvia degudament per +1 or -1 en aplicar el primer moviment de Reidemeister.

Substituïm ara ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ a ${\displaystyle X(L)}$ per tal d'obtenir el polinomi de Jones ${\displaystyle V(L)}$. En resulta un polinomi de Laurent de coeficients enters i variable ${\displaystyle t^{1/2}}$.

Aquesta definició fou introduïda per Louis Kauffman l'any 1987 i suposà una formulació més propera a les eines clàssiques de la teoria de nusos.^[3] La definició original de Jones partia de la representació de grups de trenes.

Propietats

El polinomi de Jones es caracteritza pel fet que pren valor 1 per qualsevol diagrama del nus trivial. Compleix a més la relació:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

on ${\displaystyle L_{+}}$, ${\displaystyle L_{-}}$ i ${\displaystyle L_{0}}$ són les relacions de Skein, és a dir els tres diagrames orientats idèntics excepte en un encreuament segons el que es mostra a la següent taula:

La definició del polinomi de Jones a partir del polinomi de Kaufmann facilita veure que donat un nus ${\displaystyle K}$ el polinomi de Jones de la seva imatge especular ve donada a partir de substituir ${\displaystyle t^{-1}}$ per ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle V(K)}$. Per tant, un nus igual a la seva imatge especular ha de tenir polinomi de Jones en forma de palíndrom.

Polinomi de Jones cromàtic

Sigui N un nombre natural, un polinomi de Jones de N colors, ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$, pot definir-se com el polinomi de Jones per N tires del nus ${\displaystyle L}$ tal com es mostra a la figura de la dreta. Pot associar-se a una representació irreductubible de ${\displaystyle SU(2)}$ de dimensió N+1. De la mateixa manera que un polinomi de Jones no cromàtic, pot definir-se a partir de la relació de Skein i és un polinomi de Laurent en una variable t.

Un polinomi de Jones cromàtic de N colors ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$ compleix les propietats següents:

• ${\displaystyle V_{X\oplus Y}(L,t)=V_{X}(L,t)+V_{Y}(L,t)}$ on ${\displaystyle X,Y}$ són dos espais de representació.
• ${\displaystyle V_{X\otimes Y}(L,t)}$ és igual al polinomi de Jones de les 2-tires de L amb dues components etiquetades per ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$. Per tant el polinomi de Jones de N colors és igual al polinomi de Jones original de les N tires de L.
• El polinomi de Jones original és un cas especial de polinomi de Jones cromàtic amb N = 1: ${\displaystyle V(L,t)=V_{1}(L,t)}$ .

Problemes oberts

Actualment no se sap si existeix cap altre nus amb el mateix polinomi de Jones que el del nus trivial. No obstant, gràcies a Morwen Thistlethwaite sí que se sap de l'existència d'enllaços no trivials amb el polinomi de Jones de l'enllaç trivial.^[4]

Vegeu també

• Polinomi d'Alexander
• Polinomi de HOMFLY
• Teoria de nusos

Referències

Bibliografia

• Jones, Vaughan «A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra» (en anglès). Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12, 1985, pàg. 103–111. Article original on Jones introduí el polinomi.
• Kauffman, Louis Hirsch «State models and the jones polynomial». Topology, 26, 3, 1987, pàg. 395–407. DOI: 10.1016/0040-9383(87)90009-7 [Consulta: 22 desembre 2012]. Article que introduí la definició a partir del polinomi parèntesi de Kauffman i la seva relació amb la formulació de Jones a partir de la representació de trenes.
• Jones, Vaughan. «The Jones Polynomial» (PDF) (en anglès), 2005.
• Adams, Colin. The Knot Book (en anglès). American Mathematical Society. ISBN 0-8050-7380-9. 
• Lickorish, W. B. Raymond. An introduction to knot theory. Nova York (etc.): Springer, 1997, p. 175. ISBN 978-0-387-98254-0. 
• Thistlethwaite, Morwen «Links with trivial Jones polynomial». Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 10, 04, 2001, pàg. 641–643. DOI: 10.1142/S0218216501001050.
• Eliahou, Shalom; Kauffman, Louis Hirsch; Thistlethwaite, Morwen B. «Infinite families of links with trivial Jones polynomial». Topology, 42, 1, 2003, pàg. 155–169. DOI: 10.1016/S0040-9383(02)00012-5.
• Michiel Hazewinkel (ed.). Jones-Conway polynomial. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.