Notació multi-índex

 

La notació multi-índex és una notació matemàtica que simplifica les fórmules utilitzades en el càlcul multivariable, les equacions diferencials parcials i la teoria de les distribucions, generalitzant el concepte d’un índex enter en una N-pla ordenada d’índexs.

Definició i propietats bàsiques

Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals, denotat ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$).

Per a índexs múltiples ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ i ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ es defineix:

Suma i diferència per components

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Ordre parcial

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Suma de components (valor absolut)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Factorial

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Coeficient binomial

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Coeficient multinomial

${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$

on ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$ .

Potència

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ .

Derivada parcial d’ ordre superior

${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}}$

on ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$ (vegeu també 4 gradients). De vegades la notació ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$ també s’utilitza.^[1]

Algunes aplicacions

La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent, ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$ (o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), ${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$, i ${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ (o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$).

Teorema multinomial

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Teorema multi-binomial

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$

Tingueu en compte que, atès que x+y és un vector i α és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per (x₁+y₁)^α₁...(x_n+y_n)^α_n .

Fórmula de Leibniz

Per a funcions fluixes f i g

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$

Sèrie de Taylor

Per a una funció analítica f en n variables es té

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$

De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor

${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$

on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté

${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$

Operador diferencial parcial

Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$

Integració per parts

Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ un té

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$

Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles.

Un teorema d’exemple

Si ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ són multiíndexs i ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, doncs

${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Demostració

La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}$

Suposem ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$, ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$, i ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Llavors tenim això

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$

Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ només depèn de ${\displaystyle x_{i}}$. A l’anterior, cada diferenciació parcial ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent ${\displaystyle d/dx_{i}}$. Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ s'esvaeix si α _i > β _i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$

per cada ${\displaystyle i}$ i. el teorema segueix. ${\displaystyle \Box }$

Vegeu també

• Notació d'Einstein
• Trinomi
• Expansió trinomial

Referències

• Saint Raymond, Xavier (1991). Introducció elemental a la teoria dels operadors pseudodiferencials. Cap 1.1. CRC Press.ISBN 0-8493-7158-9ISBN 0-8493-7158-9

• Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.