Nombres de Bernoulli

n	${\displaystyle B_{n}}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$
2	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
3	0
4	${\displaystyle -{\frac {1}{30}}}$
5	0
6	${\displaystyle {\frac {1}{42}}}$
7	0
8	${\displaystyle -{\frac {1}{30}}}$
9	0
10	${\displaystyle {\frac {5}{66}}}$
11	0
12	${\displaystyle -{\frac {691}{2730}}}$
13	0
14	${\displaystyle {\frac {7}{6}}}$
15	0
16	${\displaystyle -{\frac {3617}{510}}}$
17	0
18	${\displaystyle {\frac {43867}{798}}}$
19	0
20	${\displaystyle -{\frac {174611}{330}}}$

En matemàtiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per ${\displaystyle B_{n}}$ (o bé ${\displaystyle b_{n}}$ per diferenciar-los dels nombres de Bell), són una seqüència de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta.

Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansió en sèrie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperbòlica, en les fórmules per la suma de potències dels primers nombres naturals, a la fórmula d'Euler–Maclaurin i a l'expressió de certs valors de la funció zeta de Riemann.

Com que ${\displaystyle B_{1}=\pm {\frac {1}{2}}}$, se li dona el nom de segon nombre de Bernoulli. Com que ${\displaystyle B_{n}=0}$ per a tot senar ${\displaystyle n>1}$, molts autors denoten aquesta sèrie amb ${\displaystyle B_{2n}}$.

Història

Els nombres de Bernoulli van ser descoberts independentment i en la mateixa època pels matemàtics Jakob Bernoulli (suís), del qui prenen el nom, i Takakazu Seki (japonès). El descobriment de Seki va ser publicat de forma pòstuma el 1712 en la seva obra Katsuyo Sampo.^[1] El descobriment de Bernoulli, també publicat pòstumament el 1713, en la seva obra Ars Conjecturandi.^[2] El descobriment de Bernoulli és una generalització de la fórmula de Faulhaber (1631) per a la suma de les primeres 17 potències dels nombres naturals:^[3]

${\displaystyle N=\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{n}i^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+...+n^{p}}$

i el 1755, Euler va demostrar les fórmules de Bernoulli, donant el nom de nombres de Bernoulli als coeficients obtinguts.^[4]

Vegeu també

• Teorema de von Staudt-Clausen

Referències

Bibliografia

• Edwards, A.W.F. «Sums of Powers of Integers: A Little of the History» (en (anglès)). The Mathematical Gazette, Vol. 66, Num. 435, 1974, pàg. 22-28. ISSN: 0025-5572.
• Knuth, Donald E. «Johan Faulhaber and sums of powers» (en (anglès)). Mathematics of Computation, Vol. 61, Num. 203, 1993, pàg. 277-294. ISSN: 1088-6842.
• Shigeru, Hochi. «The Dawn of Wasan (Japanese Mathematics)». A: Selin, Helaine (ed.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics (en (anglès)). Dordrecht: Kluwer Academic, 2000. ISBN 1-4020-0260-2. 
• Styan, George P.H.; Trenkler, Götz «A Philatelic Excursion with Jeff Hunter in Probability and Matrix Theory» (en (anglès)). Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences, Vol. 2007, 2007, pàg. 1-10. Arxivat de l'original el 2014-07-28. DOI: 10.1155/2007/13749.