Nombre de Pisot

En matemàtiques, un Nombre de Pisot-Vijayaraghavan, també anomenat simplement Nombre de Pisot o Nombre PV, és un enter algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats de valor absolut estrictament inferior a 1.

Per exemple, el nombre enter quadràtic α   = a + b d {\displaystyle \alpha \ =a+b{\sqrt {d}}\,} , en el que a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} són tots dos enters o la meitat d'un enter senar, admet un conjugat α ′ = a − b d {\displaystyle \alpha '=a-b{\sqrt {d}}\,} ; les condicions perquè sigui Nombre de Pisot són, doncs:

α > 1 i − 1 < α ′ < 1. {\displaystyle \alpha >1\quad {\text{i}}\quad -1<\alpha '<1.}

Aquestes condicions són satisfetes pel nombre auri φ {\displaystyle \varphi } , ja que:

φ = 1 + 5 2 = 1 , 6180339887... > 1 i φ ′ = 1 − 5 2 = − 1 φ . {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,6180339887...>1\quad {\text{i}}\quad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\varphi }}.}

La condició general va ser estudiada per G. H. Hardy en relació amb un problema d'aproximació diofàntina. Aquest treball va ser estudiat per Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955), un matemàtic indi de la regió de Madras que va anar a Oxford per a treballar amb Hardy a mitjans dels anys 20. Aquesta mateixa condició apareix també a certs problemes sobre les sèries de Fourier i va ser estudiat més tard per Charles Pisot. El nom, format per aquests dos autors, es fa servir actualment de forma generalitzada.

Els nombres de Pisot-Vijayaraghavan poden ser utilitzats per a generar nombres quasi enters: la n-èsima potència d'un nombre de Pisot tendeix a un enter quan n {\displaystyle n} tendeix a l'infinit. Per exemple,

  • φ 21 = 24   476 , 000   040   9 {\displaystyle \varphi ^{21}=24~476,000~040~9}
  • φ 22 = 39   602 , 999   974   7 {\displaystyle \varphi ^{22}=39~602,999~974~7}
  • φ 23 = 64   079 , 000   015   6 {\displaystyle \varphi ^{23}=64~079,000~015~6}

Aquest efecte és més pronunciat en les nombres de Pisot-Vijayaraghavan engendrats a partir d'equacions de grau més alt.

Aquesta propietat prové del fet que per a cada n {\displaystyle n} , la suma de les n-èsimes potències d'un enter algebraic x {\displaystyle x} i dels seus conjugats és exactament un enter; quan x {\displaystyle x} és un nombre de Pisot, les n-èsimes potències dels (altres) conjuguats tendeixen vers 0 {\displaystyle 0} quan n {\displaystyle n} tendeix vers l'infinit.

El nombre de Pisot-Vijayaraghavan més petit, conegut amb el nom de nombre plàstic ou nombre de plata, és l'única arrel real del polinomi x 3 − x − 1 {\displaystyle x^{3}-x-1} (aproximadament 1,324717957 ...). Aquest nombre va ser identificat com el més petit per Raphaël Salem el 1944 i Carl Ludwig Siegel va demostrar que era el menor possible el mateix any. Siegel també va identificar el segon nombre de Pisot més petit com l'arrel positiva de x 4 − x 3 − 1 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-1} (aproximadament 1,38027756 ...).

Llista de nombres de Pisot

Nombres de Pisot inferiors a 1,618 en ordre creixent.

Valor Arrel de...
1 1,3247179572447460260 x 3 − x − 1 {\displaystyle x^{3}-x-1\,}
2 1,3802775690976141157 x 4 − x 3 − 1 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-1\,}
3 1,4432687912703731076 x 5 − x 4 − x 3 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1\,}
4 1,4655712318767680267 x 3 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-1\,}
5 1,5015948035390873664 x 6 − x 5 − x 4 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1\,}
6 1,5341577449142669154 x 5 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
7 1,5452156497327552432 x 7 − x 6 − x 5 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1\,}
8 1,5617520677202972947 x 6 − 2 x 5 + x 4 − x 2 + x − 1 {\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1\,}
9 1,5701473121960543629 x 5 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{2}-1\,}
10 1,5736789683935169887 x 8 − x 7 − x 6 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1\,}
11 1,5900053739013639252 x 7 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
12 1,5911843056671025063 x 9 − x 8 − x 7 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1\,}
13 1,6013473337876367242 x 7 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
14 1,6017558616969832557 x 10 − x 9 − x 8 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1\,}
15 1,6079827279282011499 x 9 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
16 1,6081283851873869594 x 11 − x 10 − x 9 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1\,}
17 1,6119303965641198198 x 9 − x 8 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
18 1,6119834212464921559 x 12 − x 11 − x 10 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1\,}
19 1,6143068232571485146 x 11 − x 9 − x 8 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
20 1,6143264149391271041 x 13 − x 12 − x 11 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1\,}
21 1,6157492027552106107 x 11 − x 10 − x 8 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
22 1,6157565175408433755 x 14 − x 13 − x 12 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1\,}
23 1,6166296843945727036 x 13 − x 11 − x 10 − x 9 − x 8 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
24 1,6166324353879050082 x 15 − x 14 − x 13 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1\,}
25 1,6171692963550925635 x 13 − x 12 − x 10 − x 8 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
26 1,6171703361720168476 x 16 − x 15 − x 14 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1\,}
27 1,6175009054313240144 x 15 − x 13 − x 12 − x 11 − x 10 − x 9 − x 8 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
28 1,6175012998129095573 x 17 − x 16 − x 15 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1\,}
29 1,6177050699575566445 x 15 − x 14 − x 12 − x 10 − x 8 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
30 1,6177052198884550971 x 18 − x 17 − x 16 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1\,}
31 1,6178309287889738637 x 17 − x 15 − x 14 − x 13 − x 12 − x 11 − x 10 − x 9 − x 8 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
32 1,6178309858778122988 x 19 − x 18 − x 17 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1\,}
33 1,6179085817671650120 x 17 − x 16 − x 14 − x 12 − x 10 − x 8 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
34 1,6179086035278053858 x 20 − x 19 − x 18 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1\,}
35 1,6179565199535642392 x 19 − x 17 − x 16 − x 15 − x 14 − x 13 − x 12 − x 11 − x 10 − x 9 − x 8 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,}
36 1,6179565282539765702 x 21 − x 20 − x 19 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1\,}
37 1,6179861253852491516 x 19 − x 18 − x 16 − x 14 − x 12 − x 10 − x 8 − x 6 − x 4 − x 2 − 1 {\displaystyle x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,}
38 1,6179861285528618287 x 22 − x 21 − x 20 + x 2 − 1 {\displaystyle x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1\,}

Bibliografia

  • Bertin, Marie José et al., Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser, 1992. ISBN 9783764326487. (anglès)
  • Boyd, D.W., « Pisot and Salem numbers in intervals of the real line », a Mathematics of Computation, Volum 32 (1978). Pàgines 1244–1260. (anglès)
  • Mukunda, Keshav. Pisot and Salem Numbers from Polynomials of Height One[Enllaç no actiu]. Simon Fraser University. Canadà, 2007 ISBN 9780494405741. (anglès)

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Nombre de Pisot» a MathWorld (en anglès).