Nombre de Kaprekar

No s'ha de confondre amb Constant de Kaprekar.

En matemàtiques, els nombres de Kaprekar són nombres naturals que satisfan la condició de que el seu quadrat es pot tallar en dos trossos que, sumats, donen el nombre original.[1] Formalment, doncs, són nombres naturals, k {\displaystyle k} , que satisfan les equacions:

k = q + r {\displaystyle k=q+r}
k 2 = q × 10 n + r {\displaystyle k^{2}=q\times 10^{n}+r}

Aquest nombres foren introduits el 1980 pel matemàtic indi D. R. Kaprekar.[2]

Per exemple, 9 {\displaystyle 9} és un nombre de Kaprekar perquè: 9 2 = 81 {\displaystyle 9^{2}=81} i 9 = 8 + 1 {\displaystyle 9=8+1} : 45 {\displaystyle 45} també ho és per 45 2 = 2025 {\displaystyle 45^{2}=2025} i 45 = 20 + 25 {\displaystyle 45=20+25} .[3] Altres casos son més difícils de trobar: 538461 2 = 289940248521 {\displaystyle 538461^{2}=289940248521} i 289940 + 248521 = 538461 {\displaystyle 289940+248521=538461} . A continuació es mostren altres exemples:

Nombre Quadrat Descompossició
703 703² = 494209 494+209 = 703
2728 2728² = 7441984 744+1984 = 2728
5292 5292² = 28005264 28+005264 = 5292
857143 857143² = 734694122449 734694+122449 = 857143

La sèrie OEIS 6886 mostra tots els nombres de Kaprekar en base 10 elevats al quadrat.

Aquesta definició es pot generalitzar per a nombres naturals en qualsevol base i elevats a qualsevol potència definint una funció de Kaprekar, amb base b > 1 {\displaystyle b>1} i potència p > 0 {\displaystyle p>0} , F p , b : N → N {\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } tal que:

F p , b ( n ) = α + β {\displaystyle F_{p,b}(n)=\alpha +\beta } ,

en la qual:

β = n 2 mod b p {\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}} i
α = n 2 − β b p {\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}}

Referències

Bibliografia

  • Benjamin, Elliot. Numberama: Recreational Number Theory In The School System (en anglès). Bentham Books, 2017. ISBN 978-1-68108-513-5. 
  • Iannucci, Douglas E. «The Kaprekar Numbers» (en anglès). Journal of Integer Sequences, Vol. 3, 2000, pàg. 1-6. ISSN: 1530-7638.
  • Strachan, Liz. Numbers are Forever (en anglès). Constable & Robinson, 2013. ISBN 978-1-47211-104-3. 

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W. «Kaprekar Number». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 11 setembre 2021]. (anglès)
  • «Kaprekar numbers». OEIS. [Consulta: 11 setembre 2021]. (anglès)