Llei del paral·lelogram
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Color_parallelogram.svg/220px-Color_parallelogram.svg.png)
En matemàtiques, la llei del paral·lelogram és una llei de geometria elemental que postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un paral·lelogram és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues diagonals d'aquest. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:
En el cas que el paral·lelogram sigui un rectangle, les dues diagonals són iguals i la llei es redueix al teorema de Pitàgores.
Llei del paral·lelogram per a espais amb producte intern
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/Parallelogram_law.svg/220px-Parallelogram_law.svg.png)
Dins dels espais proveïts de producte escalar, la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica
on
és el producte escalar normat.
Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram
La majoria d'espais vectorials normats reals i complexos no tenen producte intern, però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda de l'"=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, a conseqüència de la identitat de polarització, en el cas real, aquest ve donat per
o, de manera equivalent, per
En el cas complex, aquest ve donat per
Vegeu també
- Paral·lelogram
- Desigualtat triangular
Enllaços externs
- Parallelogram Law Proven Simply Arxivat 2021-09-26 a Wayback Machine. a Kappa Sigma Arxivat 2021-09-26 a Wayback Machine.
- The Parallelogram Law: A Proof Without Words A cut-the-Knot
- Proof of Parallelogram Law a Math
- Weisstein, Eric W., «Parallelogram Law» a MathWorld (en anglès).