Funció khi de Legendre

En matemàtiques, la funció khi de Legendre és una funció especial la qual les sèries de Taylor són també unes sèries de Dirichlet, donades per

χ ν ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}

Com a tal, s'assembla a la sèrie de Dirichlet pel polilogaritme i, en efecte, és trivialment expressable en termes del polilogaritme com

χ ν ( z ) = 1 2 [ Li ν ⁡ ( z ) − Li ν ⁡ ( − z ) ] . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}

La funció khi de Legendre chi apareix com la transformada discreta de Fourier, respecte a l'ordre ν, de la funció zeta de Hurwitz, i també dels polinomis d'Euler, amb les relacions explícites que es donen en aquests articles.

La funció khi de Legendre és un cas especial del transcendent de Lerch, i és donada per

χ ν ( z ) = 2 − ν z Φ ( z 2 , ν , 1 / 2 ) . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}

Identitats

χ 2 ( x ) + χ 2 ( 1 / x ) = π 2 4 − i π 2 ln ⁡ | x | . {\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}\ln |x|.}
d d x χ 2 ( x ) = a r c t a n h x x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {arctanh\,}}x}{x}}.}

Relacions amb integrals

∫ 0 π / 2 arcsin ⁡ ( r sin ⁡ θ ) d θ = χ 2 ( r ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)}
∫ 0 π / 2 arctan ⁡ ( r sin ⁡ θ ) d θ = − 1 2 ∫ 0 π r θ cos ⁡ θ 1 + r 2 sin 2 ⁡ θ d θ = 2 χ 2 ( 1 + r 2 − 1 r ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}
∫ 0 π / 2 arctan ⁡ ( p sin ⁡ θ ) arctan ⁡ ( q sin ⁡ θ ) d θ = π χ 2 ( 1 + p 2 − 1 p ⋅ 1 + q 2 − 1 q ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}
∫ 0 α ∫ 0 β d x d y 1 − x 2 y 2 = χ 2 ( α β ) s i     | α β | ≤ 1 {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {si}}~~|\alpha \beta |\leq 1}

Referències

  • Weisstein, Eric W., «Legendre's Chi Function» a MathWorld (en anglès).
  • Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski «Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments». Mathematics of Computation, 68, 228, 1999, pàg. 1623–1630. DOI: 10.1090/S0025-5718-99-01091-1.
  • Djurdje Cvijović «Integral representations of the Legendre chi function». Journal of Mathematical Analysis and Applications, 332, 2, 2007, pàg. 1056–1062. arXiv: 0911.4731. DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.10.083.