Funció de Green

En matemàtiques, una funció de Green és un tipus de funció utilitzada com a nucli d'un operador lineal integral i usada en la resolució d'equacions diferencials no homogènies amb condicions de contorn especificades. Les funcions de Green reben aquest nom pel matemàtic britànic George Green, que va desenvolupar el concepte cap a 1830.

El terme també apareix en física, particularment en teoria quàntica de camps, per referir-se a diversos tipus de funcions de correlació. Allí són utilitzades com a propagadors en el càlcul de diagrames de Feynmann.

Motivació

El terme funció de Green s'usa per designar un operador lineal K que té forma d'integral, essent el nucli d'aquest operador integral la funció de Green pròpiament dita. Per explicar què és la funció de Green considerem un operador diferencial lineal L que actua sobre cert espai de funcions definides sobre una varietat diferenciable M , i posem que pretenem resoldre l'equació diferencial:

(1) L [ u ( x ) ] = f ( x ) x ∈ Ω ⊂ M {\displaystyle L[u(x)]=f(x)\qquad x\in \Omega \subset M}

La idea del mètode basat en la funció de Green és trobar una funció de dues variables G ( x, s ) contínua i diferenciable en el sentit de la teoria de distribucions que compleixi

(2) L [ G ( x , s ) ] = δ ( x − s ) , {\displaystyle L[G(x,s)]=\delta (x-s),}

on δ ( ) {\displaystyle \delta ()\;} és la distribució delta de Dirac. Si es pot trobar una funció G que compleixi l'equació(2) llavors la solució de l'equació(1), sigui quina sigui la funció f , es pot escriure com:

(3) u ( x ) = K [ f ( x ) ] := ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s {\displaystyle u(x)=K[f(x)]:=\int G(x,s)f(s)\quad ds}

Es pot veure informalment que la solució així calculada és solució de l'equació(1), ja que:

L [ u ( x ) ] = ∫ L [ G ( x , s ) ] f ( s ) d s = ∫ δ ( x − s ) f ( s ) d s = f ( x ) {\displaystyle L[u(x)]=\int L[G(x,s)]f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x)}
L ⋅ K = K ⋅ L = I d ⇒ L − 1 = K {\displaystyle L\cdot K=K\cdot L=Id\qquad \Rightarrow \qquad L^{-1}=K}


Convé afegir algunes precisions al plantejament informal que hem presentat:

  1. Si el nucli de L no és trivial, aleshores la funció de Green no és única, encara que en la pràctica una combinació de les simetries del problema, les condicions de contorn i altres criteris pràctics externs ens proporcionen un única funció de Green.
  2. La funció de Green G usualment no és una funció matemàtica en el sentit ordinari, sinó que pot ser una distribució (matemàtiques) (o funció generalitzada).
  3. No qualsevol operador diferencial lineal L admet funció de Green. En el cas més general K és només un invers per la dreta de L.

Les funcions de Green són molt útils en teoria de la matèria condensada, on permeten resoldre l'equació de difusió, i també en mecànica quàntica, on la funció de Green de l'operador hamiltonià és un concepte clau per al desenvolupament de la teoria quàntica de camps.

Definició

Sigui L {\displaystyle L} l'operador diferencial de Sturm-Liouville, de la forma

L = d d x [ p ( x ) d d x ] + q ( x ) {\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}

I sigui D l'operador que defineix les condicions de frontera de Dirichlet

D u = { α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( l ) + β 2 u ( l ) . {\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l).\end{matrix}}\right.}

Sigui f ( x ) {\displaystyle f(x)} una funció contínua en [ 0 , l ] {\displaystyle [0,l]} . Hem de suposar també que el problema

L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}

és regular, és a dir, l'equació homogènia només té la solució trivial.

Teorema

Només hi ha una solució u (x) que satisfà

L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}

i està donada per

u ( x ) = ∫ 0 ℓ f ( s ) G ( x , s ) d s , {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds,}

on G (x, s) és la funció de Green que satisfà les condicions següents:

  1. G (x, s) és contínua en x i s.
  2. Per x ≠ s {\displaystyle x\neq s} , L G ( x , s ) = 0 {\displaystyle LG(x,s)=0\,} .
  3. Per s ≠ 0 , l {\displaystyle s\neq 0,l} , D G ( x , s ) = 0 {\displaystyle DG(x,s)=0\,} .
  4. Salt en la derivada: G ′ ( s + 0 , s ) − G ′ ( s − 0 , s ) = 1 / p ( s ) . {\displaystyle G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s).\,}
  5. Simetria: G ( x , s ) = G ( s , x ).

Exemple

Trobar la funció de Green del problema

d d x [ d d x u ( x ) ] + u ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\left[{d \over dx}u(x)\right]+u(x)=f(x)}

amb les condicions de frontera

o ( 0 ) = 0 , o ( π 2 ) = 0. {\displaystyle o(0)=0,\quad \quad o\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0.}

Primer pas: La funció de Green per a l'operador lineal és definida com la solució per

g ″ + g = δ ( x − s ) . {\displaystyle g''+g=\delta (x-s).\,}

Si x ≠ s {\displaystyle x\neq s\,\!} , llavors, la distribució delta assumeix un valor nul i la solució general per al problema és

g ( x , s ) = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x {\displaystyle g(x,s)=A\cos x+B\sin x\,} .

Per x < s , {\displaystyle x<s,\,\!} la condició de frontera en x = 0 {\displaystyle x=0\,\!} vol dir que

g ( 0 , s ) = C 1 ⋅ 1 + C 2 ⋅ 0 = 0 , C 1 = 0. {\displaystyle g(0,s)=C_{1}\cdot 1+C_{2}\cdot 0=0,\quad C_{1}=0.}

L'equació per g ( π 2 , s ) = 0 {\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=0} s'omet, ja que x ≠ π 2 {\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}} si x < s i s ≠ π 2 . {\displaystyle s\neq {\frac {\pi }{2}}.}

Per x > s , {\displaystyle x>s,\,\!} la condició de frontera en x = π / 2 {\displaystyle x=\pi /2\,\!} implica que

g ( π 2 , s ) = c 3 ⋅ 0 + c 4 ⋅ 1 = 0 , c 4 = 0. {\displaystyle g\left({\frac {\pi }{2}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0.}

L'equació g ( 0 , s ) = 0 {\displaystyle \quad g(0,s)=0} és omesa per raons similars.

Sumant els resultats, obtenim, finalment:

g ( x , s ) = { C 2 sin ⁡ x , x < s c 3 cos ⁡ x , s < x {\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}C_{2}\sin x,\,\;x<s\\c_{3}\cos x,\,\;s<x\end{matrix}}\right.}

segon pas: A continuació, trobarem C 2 {\displaystyle C_{2}} i c 3 {\displaystyle c_{3}} .

Hem d'assegurar la continuïtat de la funció de green per a l'interval escollit. Quan x = s {\displaystyle x=s\,\!} s'ha de

C 2 sin ⁡ s = c 3 cos ⁡ s . {\displaystyle C_{2}\sin s=c_{3}\cos s.\,}

També hem d'assegurar la discontinuïtat de la primera derivada per integració de l'equació diferencial de x = s − ϵ {\displaystyle x=s-\epsilon } a x = s + ϵ {\displaystyle x=s+\epsilon } i prenent el·límit quan ϵ {\displaystyle \epsilon } tendeix a zero. Per la qual cosa, derivant la igualtat anterior i garantint la discontinuïtat d'aquesta, tenim:

c 3 ⋅ [ − sin ⁡ s ] − C 2 ⋅ cos ⁡ s = 1 . {\displaystyle c_{3}\cdot [-\sin s]-C_{2}\cdot \cos s=1\,.}

En la qual s'iguala a 1 ja que p (x) és 1. Resolem per a les constants. C 2 {\displaystyle C_{2}} i c 3 {\displaystyle c_{3}} obtenint:

C 2 = − cos ⁡ s ; c 3 = − sin ⁡ s . {\displaystyle C_{2}=-\cos s\quad ;\quad c_{3}=-\sin s.}

Llavors, la funció de Green és:

g ( x , s ) = { − cos ⁡ s ⋅ sin ⁡ x , x < s , − sin ⁡ s ⋅ cos ⁡ x , s < x . {\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-\cos s\cdot \sin x,\,\;x<s,\\-\sin s\cdot \cos x,\,\;s<x.\end{matrix}}\right.}

Bibliografia

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Green's Function» a MathWorld (en anglès).