Extensió de Galois

En matemàtiques, en àlgebra abstracta, una extensió de Galois és una extensió de cos algebraica E / F {\displaystyle E/F} que és normal i separable;[1] o de manera equivalent, E / F {\displaystyle E/F} és algebraica i el camp fixat pel grup d'automorfismes Aut ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)} és precisament el cos base F {\displaystyle F} .

La importància de ser una extensió de Galois és que l'extensió té un grup de Galois i obeeix al teorema fonamental de la teoria de Galois.[a]

Un resultat de Emil Artin permet construir extensions de Galois de la següent manera: si E {\displaystyle E} és un cos donat, i G és un grup finit d'automorfismes de E {\displaystyle E} amb camp fix F {\displaystyle F} , llavors E / F {\displaystyle E/F} és una extensió de Galois.[2]

Caracterització de les extensions de Galois

Un teorema important d'Emil Artin afirma que per a una extensió finita E / F , {\displaystyle E/F,} cadascuna de les afirmacions següents és equivalent a l'enunciat que E / F {\displaystyle E/F} és Galois:

  • E / F {\displaystyle E/F} és una extensió normal i una extensió separable.
  • E {\displaystyle E} és un cos de descomposició d'un polinomi separable amb coeficients en F . {\displaystyle F.}
  • | Aut ⁡ ( E / F ) | = [ E : F ] , {\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],} és a dir, el nombre d'automorfismes és igual al grau de l'extensió.

Altres declaracions equivalents són:

  • Tots els polinomis irreductibles a F [ x ] {\displaystyle F[x]} amb almenys una arrel a E {\displaystyle E} es divideixen en E {\displaystyle E} i són separables.
  • | Aut ⁡ ( E / F ) | ≥ [ E : F ] , {\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],} és a dir, el nombre d'automorfismes és almenys el grau d'extensió.
  • F {\displaystyle F} és el cos fix d'un subgrup de Aut ⁡ ( E ) . {\displaystyle \operatorname {Aut} (E).}
  • F {\displaystyle F} és el cos fix de Aut ⁡ ( E / F ) . {\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}
  • Hi ha un correspondència un a un entre subcossos de E / F {\displaystyle E/F} i subgrups de Aut ⁡ ( E / F ) . {\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}

Exemples

Hi ha dues maneres bàsiques de construir exemples d'extensions de Galois.

  • Agafeu qualsevol cos E {\displaystyle E} , qualsevol subgrup de Aut ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (E)} , i deixeu que F {\displaystyle F} sigui el cos fix.
  • Agafeu qualsevol cos F {\displaystyle F} , qualsevol polinomi separable a F [ x ] {\displaystyle F[x]} , i deixeu que E {\displaystyle E} sigui el seu cos de descomposició.

Afegint al cos de nombres racionals l'arrel quadrada de 2 dóna una extensió de Galois, mentre que afegintr l'arrel cúbica de 2 dóna una extensió que no és Galois. Aquestes dues extensions són separables, perquè tenen característica zero. El primer d'ells és el cos de divisió de x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} ; el segon té tancament normal que inclou el complex arrel cúbica d'unitat, i per tant no és un cos de descomposició. De fet, no té cap automorfisme més que la identitat, perquè està contingut en els nombres reals i x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} només té una arrel real.

Per a exemples més detallats, vegeu el teorema fonamental de la teoria de Galois.

Una cloenda algebraica K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} d'un cos arbitrari K {\displaystyle K} és Galois sobre K {\displaystyle K} si i només si K {\displaystyle K} és un cos perfecte.

Notes

  1. ↑ Vegeu en l'article Grup de Galois per a les definicions d'alguns d'aquests termes i exemples.

Referències

  1. ↑ Lang, 2002, p. 262.
  2. ↑ Lang, 2002, p. 264 (teorema 1.8).

Bibliografia

  • Artin, Emil. Galois Theory (en anglès). Mineola, NY: Dover Publications, 1998 (1944). ISBN 0-486-62342-4. 
  • Bewersdorff, Jörg. Galois theory for beginners (en anglès). 35. American Mathematical Society, 2006 (Student Mathematical Library). DOI 10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. 
  • Edwards, Harold M. Galois Theory (en anglès). 101. Nova York: Springer-Verlag, 1984 (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 0-387-90980-X. 
  • Funkhouser, H. Gray «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations» (en anglès). American Mathematical Monthly, 37(7), 1930. DOI: 10.2307/2299273. JSTOR: 2299273.
  • Jacobson, Nathan. Basic Algebra I (en anglès). W.H. Freeman and Company, 1985. ISBN 0-7167-1480-9. 
  • Janelidze, G; Borceux, Francis. Galois theories (en anglès). Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0-521-80309-0. 
  • Lang, Serge. Algebraic Number Theory (en anglès). 110. Berlin, Nova York: Springer-Verlag, 1994 (Graduate Texts in Mathematics). DOI 10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. 
  • Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich. Foundations of Galois Theory (en anglès). Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43518-0. 
  • Rotman, Joseph. Galois Theory. Springer, 1998 (Universitext). DOI 10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. 
  • Völklein, Helmut. Groups as Galois groups: an introduction (en anglès). 53. Cambridge University Press, 1996 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). DOI 10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. 
  • van der Waerden, Bartel Leendert. Moderne Algebra (en alemany). Berlín: Springer, 1931. 

Enllaços externs

  • Pop, Florian. «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF) (en anglès). Penn Arts & Sciencies, 2001.