Espai de mesura

Un espai de mesura és un conjunt per al qual s'ha definit una σ-àlgebra de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra.[1] Un exemple important d'espai de mesura és l'espai de probabilitat.

Un espai mesurable consisteix en els dos primers components sense una mesura específica.

Definició

Un espai de mesura és un triplet ( X , A , μ ) , {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),} on[2][3]

  • X {\displaystyle X} és un conjunt
  • A {\displaystyle {\mathcal {A}}} és una σ-algebra en el conjunt X {\displaystyle X}
  • μ {\displaystyle \mu } és una mesura en ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}

En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un espai mesurable ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} juntament amb una mesura definit en aquest espai.

Exemples

  • La tripleta ( R , B , λ ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},\lambda )} on R {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } és el conjunt dels nombres reals, B {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}} la σ-àlgebra boreliana i λ {\displaystyle \lambda } la mesura de Lebesgue basada en la longitud dels intervals, constitueixen un espai de mesura.
  • Un espai probabilístic és un cas particular d'espai de mesura, on el conjunt de referència té mesura 1, i els conjunts mesurables, anomenats esdeveniments, tenen una mesura o "mida" finita, donada per la seva probabilitat.

Classes importants d'espais de mesura

Les classes més importants d'espais de mesura són definides per les propietats de les seves mesures associades. Això inclou

  • Els espais de probabilitat, espais de mesura on la mesura és una mesura de probabilitat[2]
  • Espais de mesura finita, on la mesura és una mesura finita[4]
  • Espais de mesura σ {\displaystyle \sigma } -finita, on la mesura és una mesura σ {\displaystyle \sigma } -finita[4]

Una altra classe d'espais de mesura són els espais de mesura completa.[5]

Referències

  1. ↑ «Espai de mesura». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. ↑ 2,0 2,1 Kosorok, Michael R.. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. Nova York: Springer, 2008, p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8. 
  3. ↑ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 18. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6. 
  4. ↑ 4,0 4,1 Plantilla:SpringerEOM
  5. ↑ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 33. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.