Equació diferencial de Bernoulli

Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.

En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos: Dividir entre ${\displaystyle y^{n}}$:

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x).}$ (1)

Fer un canvi de variables amb

${\displaystyle w={\frac {1}{y^{n-1}}}}$

i

${\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'.}$

Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre

${\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)}$ (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

${\displaystyle M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}}$

Exemple

Donada l'equació de Bernoulli següent

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

Després de dividir per ${\displaystyle y^{2}}$, aconseguim

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

de manera que el canvi de variables és

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$ i ${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}}$

Això porta a

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}}$

Després de multiplicar les dues bandes per ${\displaystyle M(x)}$ es té que

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$

i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de ${\displaystyle wx^{2}}$ (recordant que ${\displaystyle w}$ és una funció de ${\displaystyle x}$). Integrant a les dues bandes, es troba

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$

que dona

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C,}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

i finalment

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}$

Bibliografia

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmulas y tablas de matemática aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7.