Conjugat

En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex z {\displaystyle z} és el nombre complex format de la mateixa part real que z {\displaystyle z} i de la part imaginària oposada.

Definició

El conjugat d'un nombre complex z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,} , on a i b són reals, és z ¯ = a b i {\displaystyle {\bar {z}}=a-bi} .

En el pla complex, el punt d'afix z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} és el simètric del punt d'afix z {\displaystyle z\,} respecte de l'eix de les abscisses.

El mòdul del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant

c : C C z z ¯ {\displaystyle {\begin{array}{r|ccc}c:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}}

La conjugació és una operació lineal contínua.

Propietats

Sia ( z , w ) C 2 {\displaystyle (z,w)\in \mathbb {C} ^{2}} .

  • | z ¯ | = | z | {\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|}
  • z + z ¯ = 2 ( z ) {\displaystyle z+{\overline {z}}=2\,\Re (z)} (on ( z ) = a {\displaystyle \Re (z)=a} és la part real de z {\displaystyle z} )
  • z z ¯ = 2 i ( z ) {\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\,\Im (z)} (on ( z ) = b {\displaystyle \Im (z)=b} és la part imàginaria de z {\displaystyle z} )
  • z és real si i només si z ¯ = z {\displaystyle {\bar {z}}=z}
  • z és imaginari pur si i només si z ¯ = z {\displaystyle {\bar {z}}=-z}
  • z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}
  • z w ¯ = z ¯ × w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}} ; per consegüent : z n ¯ = ( z ¯ ) n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}} si n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
  • z z ¯ = | z | 2 {\displaystyle z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}} ; per consegüent, si z {\displaystyle z} és no nul, z 1 = z ¯ | z | 2 {\displaystyle z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}}
  • ( z w ) ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}} si w {\displaystyle w\,} és no nul.
Bases d'informació
  • GEC (1)