Angle inscrit

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En geometria, un angle inscrit és l'angle comprès entre dues cordes (o una secant i una tangent en el cas degenerat, anomenat semi- inscrit ), que s'intersequen a la circumferència. És a dir, és l'angle definit per dues cordes que comparteixen un extrem.

Propietats

Mentre que un angle central té una amplitud θ {\displaystyle \theta } igual a la de l'arc que abasta, la de l'angle inscrit és la meitat de la porció de circumferència en el seu interior, θ / 2 {\displaystyle \theta /2} .

Entre altres resultats, aquesta propietat permet demostrar que els angles oposats d'un quadrilàter cíclic són suplementaris, i que quan dues cordes a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} s'intersequen a l'interior del cercle, el producte de la longitud dels seus segments és el mateix a 1 ⋅ a 2 = b 1 ⋅ b 2 {\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}} .

Demostració

Per entendre la prova, és útil dibuixar un diagrama com els de les figures.

Angle inscrit on una corda és un diàmetre

Angle inscrit α {\displaystyle \alpha } i arc θ {\displaystyle \theta }

Siguin o {\displaystyle o} al centre d'un cercle, u {\displaystyle u} i v {\displaystyle v} dos punts en la circumferència, i w {\displaystyle w} l'altre extrem de la corda que passa per u {\displaystyle u} i o {\displaystyle o} . Sigui θ {\displaystyle \theta } l'amplitud de l'arc comprès entre les secants u v ¯ {\displaystyle {\bar {uv}}} i u w ¯ {\displaystyle {\bar {uw}}} , i α {\displaystyle \alpha } el seu angle inscrit.

L'angle central ∠ w o v {\displaystyle \angle wov} , també té amplitud θ {\displaystyle \theta } i és suplementari de ∠ V O U = β {\displaystyle \angle VOU=\beta } . Per tant θ + β = 180 {\displaystyle \theta +\beta =180} °.

Com el triangle △ V a t e n i r {\displaystyle \triangle Vatenir} té dos costats amb longitud igual al radi ( o o ¯ {\displaystyle {\bar {oo}}} i l e c t i u ¯ {\displaystyle {\bar {lectiu}}} ), és isòsceles, per la qual cosa ∠ V a t e n i r = α {\displaystyle \angle Vatenir=\alpha } . Atès que la suma dels angles interns d'un triangle és 180 °, hem de 2 α + β = 180 {\displaystyle 2\alpha +\beta =180} , però β = 180 − θ {\displaystyle \beta =180-\theta } , de manera que 2 α + 180 − θ = 180 {\displaystyle 2\alpha +180-\theta =180} , o el que és equivalent, 2 α = θ {\displaystyle 2\alpha =\theta } .

Per tant, l'angle inscrit α {\displaystyle \alpha } té la meitat de l'amplitud de la porció de cercle en el seu interior θ {\displaystyle \theta } , α = θ 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\theta }{2}}} .

Vegeu també

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «angle_inscrit» a MathWorld (en anglès).
  • Münchingen on Inscriu Angles a cut-the-knot
  • Arc Central Angle Arxivat 2006-10-30 a Wayback Machine. Amb animació interactiva
  • Arc Peripheral (s'inscriu) Angle Amb animació interactiva
  • Arc Central Angle Theorem Amb animació interactiva